Lebesgue Integral

释义 Definition

勒贝格积分：一种基于“测度（measure）”来定义的积分方法。它通过先衡量函数在不同取值集合上的“大小”（测度），再进行求和/极限，从而能积分比黎曼积分更广的一类函数；在现代实分析、概率论与泛函分析中非常核心。（该术语也常与“勒贝格测度”配套出现。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ləˈbɛɡ ɪnˈtɛɡrəl/

例句 Examples

We learned the Lebesgue integral in real analysis class.
我们在实分析课上学习了勒贝格积分。

The Lebesgue integral extends the Riemann integral and makes it easier to handle limits of functions under suitable conditions.
勒贝格积分推广了黎曼积分，并且在满足适当条件时更便于处理函数序列的极限问题。

词源 Etymology

“Lebesgue”来自法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue, 1875–1941）的姓氏。他在20世纪初建立并系统发展了测度与积分理论；因此以他的名字命名“勒贝格积分”，用来区分于较早的“黎曼积分”等定义方式。

相关词 Related Words

• Measure
• Lebesgue Measure
• Measurable
• Sigma-algebra
• Integrable
• Almost Everywhere
• Riemann Integral
• Dominated Convergence Theorem
• Monotone Convergence Theorem
• L^p Space

文学与著作中的用例 Literary Works

• Henri Lebesgue：《Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives》（1904）——勒贝格积分理论的早期经典著作之一。
• Gerald B. Folland：《Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications》——以勒贝格积分为主线系统讲解测度论与积分。
• H. L. Royden & P. M. Fitzpatrick：《Real Analysis》——入门实分析/测度论教材中大量使用“Lebesgue integral”。
• Walter Rudin：《Real and Complex Analysis》——经典研究生教材，勒贝格积分与收敛定理是核心内容。
• Elias M. Stein & Rami Shakarchi：《Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces》——强调勒贝格积分在现代分析中的基础地位。